Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

40 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, всякий корень D (л) является собственным значением интегрального уравнения, т. е. при этом однородное уравнение
ъ (61.) и
имеет решения, отличные от нулевого. Если же Я не есть корень D (X), то в силу теоремы 1 уравнение (33) при любом / (s) имеет единственное решение и, в частности, однородное уравнение (61) имеет при этом только нулевое решение. Иначе говоря, если X — корень ?)(Х), то это — собственное значение, а если X — не корень D(X), то это не есть собственное значение.
Мы получаем, таким образом:
ТЕОРЕМА 4. Собственные значения интегрального уравнения суть корни D (X).
Целая функция D (X) может иметь лишь конечное число корней во всякой ограниченной области плоскости комплексного переменного X, т. е.
ТЕОРЕМА 5. Во всякой ограниченной области плоскости X может существовать лишь конечное число собственных значений.
Отметим еще одну формулу, которая бывает полезной в приложениях. Положим, что свободный член уравнения (33) может быть представлен в виде
ъ
(62) /(s)
где <в (t) — некоторая функция.
Считая X отличным от собственного значения, получим, согласно формуле (46), решение уравнения (33) в виде: ь ь о
о (s) = J K(s, t) ш (t) dt+ X [ J R (s, t; А) К (t, t,) ш (/,) dtdtv
ч а и
Но второе из уравнений (47) дает нам:
ь л [/?(«, /; ~/*)K(t, t1)dt = R(s, /,; Xj — К (s, tj;
a
подставляя это в предыдущую формулу, мы получаем окончательно следующее простое выражение для решения уравнения (33):
ъ (63) ъ (&} — R (s, t; X) ш (() tit,
если свободный член уравнении определен формулой (62).

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика