Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

380 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
суммы этого ряда при указанных условиях. Переходя к мажорантному ряду, мы получим дифференциальное уравнение
(203) ?=-.------ М
в котором переменные разделяются:
Интегрируя и принимая во внимание (201), получим:
откуда
(204) v = R — R уГ\ -L- 2М lg- (l — •?) ,
причем значение радикала надо брать равным единице при x = Q, т. е. таким, чтобы удовлетворялось начальное условие (201). Функция (204) является регулярной функцией в точке x=Q и. следовательно. разлагается в степенной ряд.
Коэффициенты этого ряда очевидно совпадают с теми коэффициентами, которые получаются указанным выше процессом из уравнения (203) его почленным дифференцированием. Таким образом, для мажорантного уравнения ряд (202) оказывается сходящимся в окрестности х = 0. Тем более он будет сходящимся, как мы видели выше, и для основного уравнения. Этим доказано не только единственность, но и существование регулярного решения уравнения (200), удовлетворяющего начальному условию (201).
126. Теорема Ковалевской. Указанный выше метод мажорантных рядов или функций применим и для доказательства существования и единственности решения задачи Коши для уравнений с частными производными. При этом мы будем брать всегда дифференциальные уравнения в разрешенной форме. Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка:
(205) Л =/(*,. .... л-„. и. р.2, .... plt), где / — регулярная функция в точке:
( 206) xj. = ...== хп — 0; и -= и"\ р, --= pf. ...; рп= Рп.
причем без ограничения общности мы приняли начальные значения независимых переменных равными нулю. Ищется решение уравнения, удовлетворяющее следующему условию Коши:
(.207'. «'^ : .„--cpi.v, ..... х„),

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика