Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

370 ОБШАР ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ае содержат _yj. Действительно, всякое выражение:
должно обращаться тождественно в нуль в силу того, что система (174) яко-биева. что и доказывает высказанное выше утверждение. Мы можем, таким образом, в системе (174) откинуть первое уравнение и интегрировать остальные в предположении, что и не зависит от у^. Мы приходим, таким образом, к замкнутой системе (т — 1) уравнений с (п — 1) независимыми переменными. Проделывая с этой системой указанную выше операцию, мы придем к замкнутой системе (т — 2) уравнений с (п — 2) независимыми переменными и т. д. Окончательно мы придем к одному уравнению для функции и от (п — т + 1) независимых переменных. Обозначая эти неременные опять через уг, ... ... yn-m+i, мы будем иметь, таким образом, уравнение вида
ди ди да п
где независимые переменные yj являются функциями первоначальных независимых переменных х-\,...,хп. Соответствующая последнему уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений будет иметь (л — т) независимых интегралов:
И общее решение этого уравнения представится в виде
и=*(ф1, .... Ф„-»),
где ЧГ — произвольная функция. Эта же формула дает и общее решение первоначальной системы (163).
121. Скобки Пуассона. Мы используем полученные выше результаты для построения метода нахождения полного интеграла нелинейного уравнения первого порядка в случае любого числа независимых переменных. Предварительно нам надо будет рассмотреть, как и в случае двух независимых переменных, одну вспомогательную задачу. Пусть требуется определить функцию и(х\, ..., хп), если заданы ее частные производные, как функции независимых переменных х^.
(175) Рч=Ръ(хь • ••> *п) (*=»!» 2 ..... я).
Принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка, мы видим, что функции (175) должны удовлетворять следующим « (я — 1) : 2 соотношениям:
lf .... хп)
Эти соотношения не только необходимы, но и достаточны для определения функции и. Мы это доказывали раньше для случая п = 2 и п = 3 [11; 73]. Обобщая формулу Стокса на случай и-мерного пространства, мы обнаружим, как ив случае и = 3, что при выполнении условий (176) криволинейный ишеграл:
„.„ п a(xL .,., *„)== Г 2 Ра(*ь
J 8=1
не зависит от пути и дает функцию и, имеющую частные производные (175).
Можно доказать достаточность условий (176) в общем случае, применяя
метод полной индукции. Будем считать, что достаточность условий (176)
доказана в случае (п — 1) независимых переменных, и докажем, что тогда

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика