Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

360 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
случае е>л„ = — 1, мы получаем общий интеграл канонической системы в следующем виде:
<Це = bk; pj. = -Ц, (?=!,..., /г).
В этом состоит известная теорема Якоби, о которой мы уже упоминали выше [82].
Отметим, что если уравнение (134) не содержит искомой функции а, но не разрешено относительно какого-либо pk, т. е. имеет вид:
F(XI ..... хп, PI, ..., рп) = 0,
то соответствующая этому уравнению система (145) будет:
^?l _ _ dlCn _ dP\ _ _ '" "•


и мы получаем опять каноническую систему:
в которой роль независимого переменного играет вспомогательный параметр s. Если мы сумеем проинтегрировать эту систему, то и найдется с помощью квадратуры.
Изложенная выше теорема Якоби показывает нам, каким образом можно, имея полный интеграл уравнения (146), проинтегрировать соответствующую каноническую систему. Метод Коши, изложенный нами в [ПО], показывает, что и наоборот, умея проинтегрировать систему (147), мы можем находить решения уравнения (146), удовлетворяющие любым начальным условиям Коши, и, пользуясь этим, нетрудно показать, что, в частности, может быть построен и полный интеграл уравнения (146).
116. Системы двух уравнений первого порядка. Мы привели ряд примеров, когда полный интеграл может быть найден при помощи совершенно элементарных приемов. Возникает вопрос о возможности построения общего метода разыскания полного интеграла для любого уравнения первого порядка. Для изложения такого метода нам необходимо предварительно рассмотреть задачу о нахождении решения двух уравнений первого порядка с одной искомой функцией:
F(x, у, и, р, q) = Q; Ф (х, у, и, р, д) = 0.
Будем считать, что эти уравнения разрешены относительно р и q так, что мы имеем уравнения следующего вида:
(148) P=f(x, у, и); Мы будем называть написанную систему вполне интегрируемой, если она имеет решение, зависящее от произвольной постоянной. Выясним

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика