Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

350 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Если мы подчиним искомые функции а и b двум соотношениям:
то выражения для частных производных останется прежними, и функция (108) будет, как и раньше, давать интегральную поверхность. Все дело сводится к рассмотрению уравнений (114). Эти уравнения имеют очевидные решения: а = const и b= const, что приводит нас опять к полному интегралу. Второе очевидное решение получается, если а и Ь удовлетворяют соотношениям:
Это приводит нас к особому интегралу. Если по крайней мере одно из этих равенств не выполняется, то определитель однородной отно-Фь системы (114) должен обращаться в нуль:
ау,
=50.
Мы считаем при этом, что а и b не являются одновременно постоянными. Равенство нулю этого функционального определителя приводит нас к соотношению между а и b [HIjj 18]. Положим, что это соотношение имеет вид Ь = <а(а). При этом уравнения (114) приводятся к одному, которое может быть записано в виде:
и мы получаем общий интеграл. Можно показать, что. при некоторых условиях, указанными выше решениями исчерпываются все решения уравнения (116). По существу дело сводится к тому, что, имея полный интеграл, мы можем решить задачу Коши.
112. Полный интеграл и задача Коши. Покажем теперь, каким именно образом из полного интеграла следует решение задачи Коши. Пусть требуется найти интегральную поверхность, проходящую через линию:
(115) X = x(t); y=y(f)l z=z(t).
Вопрос приводится к нахождению такой функции b = to (a) в общем интеграле, определяемом равенствами (111) и (112), чтобы полученная интегральная поверхность прошла через линию (115). Выясним предварительно одно свойство огибающей поверхности. Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметром:
(116) ф(дс, у, и, а) = 0.
Положим, что через всякую точку /И линии (115) проходит поверхность семейства (116), причем касательная плоскость к этой поверхности в точке М содержит касательную к линии (115) в точке М.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика