Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

340 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
то мы должны будем определить функции p0(t) и qQ(f) из двух уравнений:
(Я^
(Щ \ «; со - РО w *; со - ч0 (t) л « = о.
Функциональный определитель левых частей этих уравнений по р0 и qQ*
совпадает как раз с определителем (77) при s = 0, что непосредственно вытекает из первых двух уравнений системы (68). Мы считаем, что определитель (77) отличен от нуля вдоль /, и что система (86) дает вдоль / вполне определенные значения для р0 и q0. При этом можно применить указанный в предыдущем параграфе метод построения решения, причем надо заметить, что определитель (87) будет отличным от нуля не только при s = 0, но и при 5, близких к нулю. Для того чтобы функции p0(f), q0(f) имели непрерывные производные первого порядка, нам надо потребовать существования непрерывных производных второго порядка у функций X0(f), y0(t), uQ(t). Это видно из второго уравнения (86).
108. Единственность решения. При решении задачи Коши мы строили интегральную поверхность при помощи характеристических полос. Единственность решения задачи на первый взгляд получается непосредственно из того, что всякая интегральная поверхность сможет быть покрыта характеристическими полосами. Но при доказательстве этого мы использовали существование непрерывных производных второго порядка у функции и (х, у). При сделанных выше предположениях мы получили в [107] решение задачи, у которого и(х,у) имеет непрерывные производные второго порядка. Но указанное простое доказательство единственности не годится, если предполагать лишь непрерывные производные первого порядка у функции и (х, у).
Нетрудно доказать теорему единственности и в предположении, что существуют лишь непрерывные производные первого порядка. Мы сделаем это для уравнения (82) при условии Коши (81).
Доказательство основано на следующей лемме:
ЛЕММА. Пусть функция и (х, у) непрерывна в замкнутом треугольнике Д, образованном прямыми
(88) х = х0; х—х0=~-(у
определена и имеет непрерывные производные первого порядка при х > л:0 в более широком треугольнике, образованном прямыми
(89) х = х0; x — x0 = ~(y—ys); x — x0=——(y—yj

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика