Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

330 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Для отношении uk=(y^ — .Уй):АУ? получаем систему линейных уравнении:
где
Л- (*..>'i. • • • - y-уУ. • • • . -УП ) — Л
л начальные условия:
(57) «kL.j,,, -0(A^O; «^-=^ = 1.
В остальном доказательство получается таким же, и мы убеждаемся в существовании у функций (56) непрерывных частных производных по у\, Вместо уравнения (55) мы получаем для этих частных производных систему уравнений:
(58) — * - V dA(*..Vi. ---..Уя) „
1 ; dx~ ZA дУ1 "i'
y=i
причем в коэффициенты этой линейной системы вместо^ надо подставить функции (56). Начальные условия будут попрежнему определяться формулами (57). Заметим, что систему (58) можно непосредственно получить, подставляя функции (56) в уравнения (5) и дифференцируя обе части по у\. Но без предварительного доказательства мы не можем утверждать существование частной производной по УО) и не можем, строго говоря, менять порядок дифференцирования по х и у^ в левой части. Отметим еще, что в случае одного уравнения линейное однородное уравнение (55) интегрируется в конечном виде.
Замечание 3. Если правые части fk уравнений (5) имеют, при условии (6), непрерывные частные производные по уа, до некоторого порядка т, то и функции fk(x, х0, у^\ . . . , У^') имеют непрерывные частные произвол ные по У8°^ до порядка т. Если Д имеют непрерывную частную производную по х, то из самого уравнения (5) следует, что % будет иметь непрерывные производные до второго порядка по х,
104. Нелинейные уравнения первого порядка. Мы переходим к рассмотрению уравнений с частными производными первого порядка в общем случае. Как и для случая линейных уравнений, мы сначала будем предполагать, что имеются лишь две независимые переменные. Уравнение с частными производными первого порядка для функции от двух независимых переменных имеет вид:
(59) F(x, у, и, р, <7) = 0.
Выясним прежде всего геометрический смысл написанного уравнения. В любой фиксированной точке (х, у, и) уравнение (59) представляет собою соотношение между р и q, т. с. соотношение между направляющими косинусами нормали к поверхности. Удовлетворяющие этому .•^отношению нормали образуют некоторую коническую поверхность

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика