Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

320 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
многообразие, которое мы будем называть поверхностью. Если за параметры принять xlt,..,xn, то будем иметь явное уравнение поверхности: и = и (jtj, . . , , хп). Именно такой вид должно иметь уравнение интегральной поверхности уравнения (16). При т = 1 соответствующее одномерное многообразие называется линией (л-f- 1)-мерного пространства.
Определим характеристики уравнения (16) следующей системой:
где s — вспомогательный параметр. Всякое решение этого уравнения, кроме решения, в котором все xk и и — постоянны, дает линию (п-\- 1)-мерного пространства. Решение, в котором все х^ и и — постоянные, не может существовать в силу а\ -f- • • • -j-e^ > 0. Координаты этой линии будут выражаться через параметр 5. Чтобы построить из этих линий поверхность, нам надо взять семейство таких линий, зависящее от (п — 1) произвольных параметров. В общем получится совокупность точек, зависящая от п параметров. Если некоторая гладкая поверхность u = u(xl, ,,,,хп) образована семей-ством характеристик, зависящим от (п — 1) параметров, то это есть интегральная поверхность уравнения (16). Действительно, дифференцируя и(х1,.,.,х„) по 5 и пользуясь уравнениями (17), получим : „
du
du Но, в силу последнего из уравнений, — = с, откуда и вытекает урав-
нение (16). Наоборот, всякую интегральную поверхность можно представить себе образованной семейством характеристик, зависящим от (п — 1) параметров. Действительно, имея интегральную поверхность u = u(xlt ,,.,xn), мы можем определить xh из системы уравнений:
(18) = ak[x1,...,xn,U(x1,.,.,xn)] (k = l,2,...n),
что даст нам (п — 1) произвольных постоянных. Одна произвольная постоянная, входящая аддитивно к s, не будет играть существенной роли. Подставляя решение системы (18) в правую часть и — и (xv. . .,хп), дифференцируя по s и пользуясь уравнениями (16) и (18), мы убедимся в том. что а будет удовлетворять последнему из уравнений (1 7).
Мы считаем, как и в [100], что u(x-i, ..., ха) и правые части уравнений (17) имеют непрерывные производные первого порядка.
Задача Коши для уравнения (16) состоит в определении интегральной поверхности, содержащей заданное (п — 1)-мерное многообразие:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика