Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

300 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
*
наименьшее значение в указанном классе D. Мы знаем, что такая гармоническая функция существует и единственна [11; 195]. Обозначим ее через v(x, у).
Покажем прежде всего, что можно задать непрерывную функцию /(tl), входящую в условие (241) так, что функционал (240) для и = v:
(242)
в
будет равен (-j-oo). Действительно, положим:
со
(243)
Написанный ряд сходится, очевидно, абсолютно и равномерно относительно 6 и определяет непрерывную периодическую с периодом 2 it функцию /(fJ). Решение задачи Дирихле с предельными значениями (243) имеет вид [II; 195]:
/1=1 В интеграле (240) перейдем к полярным координатам:
(244) J(v) = J | (u2r + ^ e|) r dr do,
r Мы имеем:
оо оо
vr = J] 2»raS"- ' cos (2*« 0); «, = — V 2»raa" sin (22« 9),
»t=l ;»=J
причем написанные ряды сходятся абсолютно и равномерно» относительно г и 0 в любом круге г^р, где р < 1. Принимая во внимание ортогональность синусов и косинусов кратных дуг на промежутке длины 2тг, получим:
f ff«2r-f i^)rrfrd&=V f f22'^2;i+1-i
« -. Ч Г J -^яш J J
и при р -> 1 сумма последнего ряда беспредельно возрастает, откуда и следует, что при условии (243) величина интеграла (242) равна

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика