Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

30 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В силу (45) мы можем переписать это равенство в виде:
ь X J/?(s, t; K)K(t, x)dt=R(s, -v; tf — K(s, x),
a
что и дает второе из уравнений (47), но только при других обозначениях переменных. Аналогичным образом проверяется и первое из написанных интегральных уравнений для резольвенты.
Заметим, что можно доказать сходимость метода последовательных приближений при значениях X, удовлетворяющих неравенству:
Г и
У
* а
ь ^\K(s, t)?dsdt
вообще менее ограничительному, чем неравенство (40). В дальнейшем мы не будем пользоваться этим фактом.
6. Теорема существования и единственности. До сих пор мы
определили резольвенту только при значениях X, удовлетворяющих условию (40). В дальнейшем увидим, что резольвента существует на всей плоскости комплексного переменного X, кроме некоторых изолированных значений X, и что она на всей плоскости X удовлетворяет уравнениям (47). Поэтому представляется важным доказать теорему существования и единственности, исходя только из уравнений (47):
ТЕОРЕМА. Если при некотором значении X существует непрерывная в квадрате kQ функция R(s, t;'\), удовлетворяющая уравнениям (47), то уравнение (33) при этом значении X имеет единственное решение, и это решение определяется формулой (46).
Доказательство распадается на две части. Сначала мы докажем, что при наличии (47) всякое решение уравнения (33) должно выражаться формулой (46). Это даст нам единственность. Затем мы проверим, что формула (46) действительно дает решение уравнения (33).
Пусть »(s) — некоторое решение уравнения (33). Умножим обе части (33) на \R (x, s; X) и проинтегрируем по s:
о X i R(x, s; X) о (s)ds —
l> Ь Ь
-=>X J" Ж*. s"> X)/(s)uf5 + X )"[^ХЖл% s; X)K(s, f)ds\o(f)dt.
it а л
Принимая во внимание второе из уравнений (47), мы можем написать:
ь X ("Ж*, s- t}K(s, t)ds~=R(xt t; л) — К(х, t),

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика