Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

290 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
окончательно принцип Остроградского — Гамильтона сведется к необходимому условию W = 0 для интеграла
*i i J = 1 J J (Ри* - Г04 + 2Fu) dx dt.
(220)
Интегрирование совершается по прямоугольнику на плоскости (х, t). На сторонах этого прямоугольника х = 0 и х = I в случае закрепленной струны мы имеем предельное условие и — 0, а на сторонах t = /о и t = /1 функция и должна совпадать с функциями и (х, tn) и г/ (л:, /j), дающими форму струны в начале и конце промежутка [tg, /J.
Если на концы струны действуют упругие силы, то, принимая во внимание, что потенциал упругой силы пропорционален квадрату отклонения, мы должны к интегралу (220) добавить слагаемое вида:
Г
I [Л,н2 (0, 0 + /z-ju* (/, 01 dt.
Но существу, этот добавочный член представляет собою интеграл по контуру упомянутого выше прямоугольника, причем на сторонах t = t0 и t = t\ подинтегральная функция равна нулю, а на сторонах х = 0 и х = I она равна /!ii/2(0, /) и Л2и2(/, ?)• Принимая во внимание сказанное в [75], а также то обстоятельство, что на стороне jc = 0 внешняя нормаль направлена противоположно оси х, мы будем иметь на сторонах х = 0 и х — I естественные предельные условия вида:
2А,
___ ^_ _?_ tj
' fji **
7
о
= 0;
2ft,
да = 0 'О
Уравнение Остроградского для двойного интеграла (220) даст нам обычное уравнение колебаний струны.
Совершенно так же надо рассуждать для получения уравнения колебания мембраны [II; 176]. Положим, что в естественном состоянии мембрана натянута в плоскости (х, у) и Тд — ее натяжение, рассчитанное на единицу длины. Работа силы деформации будет выражаться произведением TO ня приращение площади:
. I j VT+^+^dx dy - f J dx dy, "в 'в
где a (x, y, t) — отклонение точки (х, у) мембраны в момент времени / от положения равновесия и В — область плоскости (х, у), занятая мембраной. Ограничиваясь малыми колебаниями, мы получим следующее выражение для интеграла (213):
(221) 1 J j j [?KJj - Г0 (4 + гф -f - '>Fti\ dt 4 n'
Уравнение Остроградского для написанного интеграла приведет нас к известному уравнению колебания мембраны. Если на границе имеется упругая связь с коэффициентом q (s), то к интегралу (221) надо л.обавить слагаемо?:
q (s) и" ds, I

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика