Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

280 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЙ
Функции у (х, а) при любом значении а удовлетворяют уравнению Эйлера:
Fy \х, у (х, а), у' (х, а)] — -^ /у [х, у (х, я), у' (х, а)| = О,
Дифференцируя обе части этого уравнения по а и переставляя порядок диф ференцирования по а и х, получим:
. У (* «>,
''' ' да
Но из (201) вытекает:
ду(х, а)
= «(х)\
... ду'(х.а)
= а' (х),
1/<* я = 5?j
и, следовательно, мы получаем для и следующее уравнение:
d
которое может быть записано в виде:
(202) ~(Ru')-Su = Q, где
(203) К = Г.у.у, (х, у (х, а0), у' (х, «„)]; S = Fw [ | - ^ fw, [ 1-
Уравнение (202) совпадает с уравнением Якоби, которое мы имели выше. В качестве семейства экстремалей возьмем теперь пучок экстремалей, выходящих из фиксированной точки (JTO, V0). Принимая за параметр а угловой коэффициент экстремали в точке (.г0, _у0), мы получим для экстремали семейства в точке х$ начальные условия: у (х(], а) = vo, у'(XQ, а) = я> и, следовательно, функция и(х), определяемая формулой (201), будет удовлетворять начальным условиям a(_v0i = 0, гг'(лг0) = 1, т. е. б\дет совпадать с решением UQ (х) уравнения Якоби, которое мы ввели выше. Уравнение гг0(д')"=0
ду (х, а)
совпадает, таким образом, с уравнением
= 0. Согласно тео-
рии огибающих, это последнее уравнение дает абсциссы точек касания огибающей нашего пучка экстремалей с самими экстремалями пучка. Пусть У(Х, °о) есть некоторая экстремаль нашего пучка и пусть эта экстремаль касается в точке с абсциссой х = ХУ огибающей пучка. Говорят, что точка касания есть точка, сопряженная с исходной точкой с абсциссой х = хй относительно экстремали у (х, а0). Из предыдущих рассуждений вытекает, что уравнение и0(лг) = 0 дает абсциссу дг, упомянутой выше точки. Мы можем, таким образом, найти сопряженною точку на заданной экстремали, не зная уравнения всего пучка, если мы сумели построить решение ;;,)(•*") уравнения Якоби (202), соответствующего взятой экстремали. Мы можем, таким образом, сказать, что усиленное условие Якоби, о котором мы говорили выше, имеет тот геометрический смысл, что промежуток |,r0, x\\ не содержит точек, сопряженных с начальной точкой экстремали. Отмстим, что предыдущее рассуждение не является, вообще говоря, строгим, поскольку
уравнение \-~—- = 0 не всегда дает точки касания огибающей с огибаемыми, Но можно строго доказать, что если вдоль экстремали у (х) вели-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика