Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

270 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и Mi(l,l). Для любой такой кривой функционал (185) будет очевидно положительным. Построим линию, состоящую из двух отрезков прямых линий и соединяющую точки Ж0 и УИ1( а именно, образуем ломаную линию М0ОМ±, где О — начало координат плоскости (х, у). Нетрудно видеть, что функционал (185) для взятой ломаной линии обращается в нуль, так как вдоль отрезка М0О : у = 0, а вдоль отрезка ОМ± : у'=\. Эта ломаная линия, имеющая угловую точку в начале координат, будет, очевидно, давать экстремум интегралу (185).
Проведем теперь рассуждение для общего случая. Положим, что некоторая линия, соединяющая точки (д-0, _у0) и (xv у{) и имеющая одну угловую точку (д:2) _у2), Дает экстремум функционалу (184) по сравнению с другими, к ней достаточно близкими кривыми, которые также могут иметь угловую точку и должны проходить через заданные конечные точки (л:0) у0) и (jCj, yj. Мы можем считать закрепленными не только конечные точки, но и точку (д:д, _у2), которая является угловой точкой для исследуемой кривой. Эта кривая при этом предположении тем более должна давать экстремум интегралу (184). Отсюда непосредственно следует, что участки кривой, соответствующие промежуткам [хй, х%] и [д:2, хг\ оси х, должны являться экстремалями задачи, т. е. должны удовлетворять соответствующему уравнению Эйлера. Существенно выяснить те условия, которым должны удовлетворять ордината и угловые коэффициенты касательных к кривой в точке излома. Определим вариацию интеграла (184), приняв нашу кривую за исходную и разбивая весь промежуток [х0, хг] на две части [х0, д:2] и [лга, jcj.
Принимая во внимание, что концы кривой закреплены и что оба участка кривой удовлетворяют уравнению Эйлера, мы получим следующее выражение для этой первой вариации:
8У= [F-y'Fyl]x t_0bx9- [F-y'Fy,]x^x,+
Ввиду произвольности 8x3 и 8уа, мы получаем следующие два условия, которые должны выполняться в угловой точке нашей кривой, если эта кривая дает экстремум интегралу (184):
(186) [F-y'Fv,}Xt_^[F-y'Fy,}x+-, [Fy,]X2_n = [Fy,]x^.
Эти условия называются обычно условиями Вейерштрасса — Эрд-манна. Предлагаем читателю проверить, что они действительно выполнены в начале координат для той ломаной линии, которая дает экстремум интегралу (185).
Отметим, что условия (186) сводятся к требованию непрерывности выражений F — „v'/V и Ff в той точке х = х0. в которой у' имеет скачок. Эти выражения будут, очевидно, непрерывными в остальных

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика