Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

260 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
соответствующего задаче геометрической оптики, квазисферы центрального поля представляют собою фронт волны от локального возмущения в точке М0 в различные моменты времени. В общем случае трансверсальные поверхности 5 дают также фронт волны в различные моменты времени, при условии, что 50 есть фронт волны в начальный момент времени.
В каждой точке трансверсальной поверхности 5 коэффициенты при §.*-, 8у, Ъг в условии трансверсальности (157) должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности 5. С другой стороны, эти направляющие косинусы, как известно, пропорциональны частным производным от левой части уравнения (159) по координатам, т. е. эти частные производные должны быть пропорциональны коэффициентам в условии трансверсальности (157). Но, как мы сейчас покажем, имеет место тот замечательный факт, что мы имеем в данном случае не пропорциональность, а точное равенство, т. е.:
дв , , , , <59 = -Н(х, у, z, v, w); — v, = «'>
причем в написанных формулах v и w мы должны, конечно, считать функциями (х, у, г). Это будут те функции наклона нашего поля, о которых мы говорили в предыдущем параграфе. Это утверждение, как мы сейчас покажем, непосредственно следует из основной формулы (158).
Для отчетливости рассмотрим сначала случай центрального поля. В этом случае, как мы уже говорили выше, 6 (х, у, г) является величиной интеграла (147) по дуге М0М экстремали нашего центрального поля.
Будем двигать конец М уже не по квазисфере, как это мы делали выше, а произвольным образом в пространстве. При этом, конечно, будет, вообще говоря, меняться и экстремаль поля, соединяющая /И0 с подвижной точкой М. В данном случае перемещение точки М будет зависеть не от двух параметров, как выше при движении по квазисфере, а от некоторых трех параметров, которые мы не будем фиксировать. Обозначим буквой 8 дифференциал, относящийся к изменению этих параметров. Вернемся к основной формуле (158), причем величину интеграла J мы можем, в силу сказанного выше, заменить функцией О (х, у, г). В правой части этой формулы интегральный член пропадает ввиду того, что мы интегрируем по экстремали. Внеинтеграль-ный член на нижнем пределе также обратится в нуль, так как точка М0 закреплена. Но внеинтегральный член на верхнем пределе уже не обратится в нуль, так как точка М движется не по квазисфере, а любым образом, и мы будем иметь равенство:
(161) W(x, у, z)*= — Hb
откуда и вытекают формулы (160).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика