Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

240 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Отметим, что роль k в формуле (97) у нас играло т^, так что достаточно потребовать, чтобы тождество (97) имело место при k > 0. В дальнейшем мы будем считать, что для интеграла (96) выполнено условие (97).
Напомним, что при определении близости для кривых, заданных в явной форме, мы требовали близости ординат кривых, соответствующих одинаковым абсциссам. В общем случае параметрической формы уравнения можно определить близость независимо от выбора параметра, а именно: мы можем сказать, что кривая / находится в е-бли-зости нулевого порядка от кривой /:, если между точками / и lt можно установить такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие, при котором расстояние между соответствующими точками не превосходит е. Аналогично может быть определена s-близость первого порядка.
Перейдем теперь к выводу необходимого условия экстремума. Пусть некоторая линия / дает интегралу экстремум. Производим каким-нибудь образом выбор параметрического уравнения линии /, так что уравнение / будет: x(t), y(f). Берем близкую кривую x(t)-\-a.r\ (t). у (0~г ^i7!! (0> причем считаем соответствующими точки, получаемые при одном и том же значении параметра. Подставляя уравнение близкой кривой в интеграл (96) и приравнивая нулю производные по а и otj при а = «j = 0, мы, как всегда, покажем, что функции х (t) и у (/) должны удовлетворять при любом выборе параметра / системе двух уравнений Эйлера:
(98) Fx - 1 /v = 0; Fv-^Fu- = 0.
Эти уравнения не содержат в явном виде самого параметра. Кроме того отметим, что по существу дела одну из функций, х (t) или y(f), мы можем считать произвольной. Действительно, совершая замену параметра /(т), мы получим x[t(t)] и y[t(i)\ и, в силу произвольности выбора t(t), мы можем считать одну из этих функций произвольной функцией от т. Учитывая это обстоятельство, мы вправе ожидать, что два уравнения (98) сводятся к одному. Докажем это. Дифференцируя обе части тождества
выражающего свойство однородной функции F [I; 154], по х, у, х', у'
получим:
(99) Fx = *'/w +//V : F, = x'Fu*' +//V
О = x'F,'X' +//vff/; 0 = Xе Fa,, у +//y.V'. Из последних двух равенств найдем:
(100) ?^ = .^1 = %== Fl(.v, у, .v', у'),
у'- —х'у' х'

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика