Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

. 230 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в рассматриваемом случае содержат производные^, то функции F*> бу-
дут содержать А8(лг), и уравнения (68) будут содержать производные от >,d (х) no -v. Окончательно уравнения (67) и (68) дадут систему (п-}-р) дифференциальных уравнений с (я -\-р) неизвестными функциями У( и Ье(х) второго порядка относительно у( и первого — относительно Xg (x).
Введем в рассмотрение функции zt (х), определенные равенствами:
(70) г((*) = Х(*) («=1,2, ...,в).
После такой замены уравнения (67) дадут р голономных связей для функций yi и zit а (68) и (70) обращаются в систему 2л уравнений первого порядка с (1п-\-р) функциями _у(, г,- и Х8 (х). Решив: (67) относительно каких-либо р из функций у( и г4 и подставив их выражение в уравнения (68) и (70), получим 2л уравнений первого порядка для 2л из функций у{, г{, Х8(дг). Общее решение этой системы будет содержать 2л произвольных постоянных, которые должны определяться из 2л граничных условий.
70. Примеры. 1. Среди всех кривых длины /, соединяющих две данные точки А и В, определить кривую, ограничивающую вместе с прямолинейным отр.-зком АВ наибольшую площадь. Проведем ось X через точки А к В и пусть х^ и Xi — абсциссы этих точек. Считаем, что у искомой кривой у есть однозначная функция от х в промежутке [хц, Xi\. Дело сводится к отысканию наибольшего значения интеграла
(71) fyrfx
а'„
при дополнительном условии:
Яч _
(72) I Y\+y'Zdx = /.
ха
Последний интеграл выражает длину линии у (х) между точками х — Х0, и х = х\. Его экстремалями будут, очевидно, прямые линии Это можно непосредственно проверить, составляя уравнение Эйлера для этого интеграла. Если 1<^х1 — дг0, то условию (72) не удовлетворяет ни одна линия. Если I = х-\ — х0, то условию (72) удовлетворяет только прямолинейный отрезок /Ш. В обоих случаях поставленная задача не имеет смысла, и в дальнейшем мы будем считать />*! — хи, В рассматриваемом случае
причем эта й^нкция не содержит х, а потому первый интеграл соответствующего уравнения Эйлера будет:
/••* - у '{, = у + ). 1 1 + У'- -- —, = b '
V 1 +/ откуда

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика