Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

220 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интегрируя, найдем:
или
х — С,
и окончательно:
х-О, х-С,
Ci — 7v , — п |
•y = T'^e +e y/ =
Таким образом, экстремали суть цепные линии, имеющие ось симметрии, параллельную оси ОУ [I; 178]. Можно показать, что в рассматриваемой задаче через две данные точки Мй и MI не всегда проходит одна и только одна экстремаль. В зависимости от положения этих точек таких экстремалей может быть две, одна или ни одной.
Как мы видели выше, геодезическими линиями на сфере являются большие круги этой сферы. Если точки М0 и MI сферы не являются концами олного и того же диаметра сферы, то их можно соединить двумя дугами одного и только одного большого круга. Если же точки Мй и М\ лежат на концах одного и того же диаметра, то их можно соединить бесчисленным множеством полуокружностей больших кругов сферы.
Уравнение Эйлера является лишь необходимым условием экстремума соответствующего функционала, так что мы не можем утверждать, что найденная экстремаль дает действительно экстремум соответствующему функционалу. В дальнейшем мы укажем и некоторые достаточные условия. В случае геодезических линий на сфере минимум расстояния будет давать меньшая из двух дуг большого круга, соединяющих точки Мй и MI. Никакая линия поверхности, соединяющая точки MQ и Мь не может давать наибольшего расстояния между точками Мй и М±. Очевидно, можно провести на поверхности сколь угодно близкую линию, соединяющую Л/0 и MI, с длиной большей, чем длина взятой линии.
5. Рассмотрим задачу на экстремум интеграла
= J J /!
- Uy dx dy.
Как мы видели [61], к этой задаче приводится задача отыскания поверхности с наименьшей площадью, натянутой на данный контур. Если мы натянем на заданный контур какую-нибудь поверхность, то совершенно очевидно, что мы можем построить сколь-угодно близкую к ней поверхность, натянутую на тот же контур с большей площадью, и следовательно, в данном случае экстремум интеграла может сводиться только к его наименьшему значению. Подставляя подинтегральное выражение в уравнение (27), мы получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка для искомых минимальных поверхностей:
(42) г i
(P = ux; q = uy\ r=u~x, « = «., y, t= uyv).
Напомним, что средняя кривизна поверхности определяется формулой [II; 134]:
(43) "-4(4"' М EN-WM+GL
? \ Г\ \

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика