Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

20 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
что его сумма рявна f(x). Положим, что ряд (28) оказался равномерно сходящимся в промежутке [а, Ь]. Составим разность;
которая будет непрерывной функцией, поскольку мы считали f(x) непрерывной функцией. Умножая обе части последнего равенства на »р (х) и интегрируя, причем в силу равномерной сходимости ряда почленное интегрирование возможно, получим в силу ортогональности и нормированное™ функций (20): ь ь
J /1 (*) ?*,(•*)<** = // (х) чр (х) dx — ср.
а о
Разность, стоящая справа, равна нулю, поскольку ck суть коэффициенты Фурье функции / (л;) и, следовательно, если ряд Фурье (28) функции / (х) сходится равномерно, то разность f1 (х) между функцией и ее рядом Фурье имеет все коэффициенты Фурье равными нулю. Если, кроме того, система (20) замкнута, то отсюда, в силу сказанного выше, вытекает следующее утверждение: если система (20) замкнута и ряд Фурье непрерывной функции / (дг) сходится равномерно в промежутке [а, Ь], то его сумма равна f(x).
Отметим еще то элементарное обстоятельство, что ортогональные функции всегда линейно-независимы. Действительно, положим, имеется некоторое соотношение:
= 0.
Умножая обе части на Все сказанное выше может быть непосредственно обобщено и на случай комплексных функций вещественного переменного х, т. е. функций вида
Мы об этом говорили уже раньше [III]; 49]. Свойство ортогональности и нормированности системы выражается при этом равенствами;
0 при р -±i a
>
где через в мы, как всегда, обозначаем комплексное число, сопряженное с о. Коэффициенты Фурье любой комплексной непрерывной функции определяются равенствами:

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика