Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

190 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
57. Предельные задачи для аналитических функций. Прежде чем переходить к решению интегральных уравнений с ядром Коши, займемся некоторыми предельными задачами для аналитических функций. Предварительно введем одно новое понятие и докажем вспомогательную теорему.
Пусть некоторая функция / (г) регулярна в окрестности г = со. Говорят, что она имеет на бесконечности конечный порядок, если ее разложение в окрестности z = оо имеет вид:
(434) /(*)=*
и целое число т (положительное, отрицательное или нуль) называется порядком /(г) на бесконечности. Если /л<;0, то f (z) регулярна в точке 2 = со, а если т > 0, тог = ооесть полюс f (г). При/м<0 мы имеем /(оо) = 0.
ТЕОРЕМА. Если f(z) регулярна на всей плоскости г и имеет конечный порядок на бесконечности, то f (z) есть полином.
В рассматриваемом случае разложение (434) имеет место на всей плоскости z, и это разложение не должно содержать отрицательных степеней г, ибо г = 0 должна быть точкой регулярности f (z). Таким образом, при т > 0 функция / (г) будет полиномом, а при т = О — постоянной (полином нулевой степени). В частности, эта постоянная может равняться нулю. Функция, тождественно равная нулю, также считается конечного порядка на бесконечности. Ее порядок считается равным нулю, как и у постоянной, отличной от нуля. Доказанная теорема является по существу обобщением теоремы Лиувилля [Ш2; 9j.
Пусть L — гладкий замкнутый контур. Решим указанные ниже три предельных задачи.
ЗАДАЧА 1. Найти функцию <у+ (z), регулярную внутри L, и функцию (435) <р+ (т) _?- (т) =/(г) (т на L),
где /(т)—заданная на L комплексная функция, удовлетворяющая условию Липшица. Формула:
(436) Ъ
определяет функцию <р0 (г), регулярную внутри JL, и <ро (г) — регулярную вне L и равную нулю на бесконечности. В силу формул для

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика