Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

140 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Построим операторы
(283) A1 = ^A + jA+ А, = ±А-±А*
Это — интегральные операторы с непрерывными или слабо полярными ядрами вида:
,у NT (s, 0 + /O/Ts)] и 1 [A- (s, 0 - К&7)].
Нетрудно видеть, что это — эрмитовские ядра и, следовательно, операторы AI и At— самосопряженные усиленно вполне непрерывные оператор- в пространстве Н комплексных непрерывных функций. Операторы А л А* выражаются через А! и Л2 по формулам:
(284) Л = Л, +гЛ2, Л* = Л, — М2.
Выделим т"перь некоторый класс операторов, для которых мы сможем провести изложенную выше теорию самосопряженных вполне непрерывных операторов.
Определение. Интегральный оператор А называется нормальным. если он коммутирует с А*, т. е. если А* А = АЛ*.
Пользуясь сказанным выше, можем записать условие (достаточное) нормальности интегрального оператора:
ъ ъ
(285) J K(s, О Л (t, /J rf/i = J К(Ь, s) К ft, t) rffc
а а
при этом считается, конечно, что при образовании операторов ЛЛ* и А*А можно менять порядок интегрирования. Это будет иметь м^сто, если ядро — непрерывно или слабо полярно.
Ксли А коммутирует с А*, то из (2S3) непосредственно следует, что А\ и А-> также коммутируют. Мы предположим, что ядро A*(s, /) таково, что А и А* вполне непрерывные операторы и А коммутирует с А*, т. е. А — нормальный оператор. При дальнейшим изложении мы не будем пользоваться тем. что А инте: ральный оператор. Для нас будет лишь важно, что при всяких f и <р имеет место равенство (282), что А ч А* коммутируют и что оба эти оператора вполне непрерывны. При этом из (283) следует, что и самосопряженные операторы Л] и А~ коммутируют.
Докажем, пользуясь лишь (282), самосопряженность, например, Лх. Из (282) следует, что (A* (Л1?, ф) = (1 А? + 1 Л*,, ф) = 1 (А* ф) + 1 (А*?, ф) =
т. е. (A\f, i) = (f, /41'i), откуда и следует самосопряженность Л].
Пусть ;JLJJ и ^>j — собственные значения и попарно ортогональные, нормированные собственные элементы самосопряженного вполне непрерывного оператора А\. (286) АЫ = [i4-f ft.
При.меняя к обеим частям оператор Ла и принимая ви внимание, что AI и /4j коммутируют, получим:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика