Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

100 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
при фиксированном s. Отсюда, как мы знаем [23], вытекает формула (145).
Абсолютную и равномерную сходимость упомянутого ряда в k0 можно доказать, пользуясь теоремой Дини, совершенно так же, как это мы делали в [24] для случая второго повторного ядра. Заметим, что при доказательстве теоремы нам был существенен лишь тот факт, что собственные значения Xk все положительны, начиная с некоторого номера. Именно этот факт давал нам положительность ядра (180). Следовательно, доказательство сохранит свою силу и для того случая, когда ядро K(s, t) имеет конечное число отрицательных собственных значений, и, вообще, теорема Мерсера остается справедливой в том случае, когда ядро имеет лишь конечное число положительных или отрицательных собственных значений. Отметим, что непрерывность ядра является совершенно необходимым условием для справедливости доказанной теоремы.
28. Случай слабо полярного ядра. Рассмотрим случай одномерного слабо полярного ядра
(181) К(*, 0 =^%^ (0 <«<
Введем, как и в [17], непрерывные ядра
I K(s, f) при |s_f|>T
(182) «т С- 0 = { J^JL при ,_,,<т.
Имеют место оценки:
(183) IM*. 01<|К>, 3l<[F=7r Составим второе повторное ядро:
ъ (184,) К2 (s, f) = J К (s, t,) Ktf» t) dtr
a
Написанный интеграл имеет смысл, в силу (181), при любых положе-
ниях s и t в [а, Ь], так как в наиболее неблагоприятном случае
совпадения s и t мы будем иметь следующую оценку подинтеграль-ной функции:
\K(s, *,)*(*„ *)1<-г
Докажем, что K?(s, t) — непрерывная функция в квадрате Строим функцию
и
(1842) К^ (s, () = f K.( (s, /,) К.( (/„ /) dtlt

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика