Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

90 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
также будет его решением при произвольных постоянных Сг, С2, . . . Ck. Это утверждение доказывается буквально так же, как и для уравнений второго порядка [24].
Решения _у„ у% . . . , yk называются линейно-независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х соотношения
= О
с постоянными коэффициентами otj, а.2, . . . , ak, среди которых есть отличные от нуля.
Если _у,, УЪ, ... , уп — п линейно-независимых решений уравнения, то формула
(18) y
где Сi — произвольные постоянные, дает все решения этого уравнения. Располагая постоянными Ct, можно получить одно и только одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям:
=У9'> У'
I
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид
ц(") -j-pj (х) «(""') -\-ръ (х) i (19) +
Если Kt — какое-либо решение этого уравнения и yt, уг, ... , уп — линейно-независимые решения соответствующего однородного уравнения (17), то формула
у = С&1 -f С^уа -f '-----Г СпУп + «о
где Ct — произвольные постоянные, дает общее решение уравнения (19). При этом, если ylt уъ ... , у„ известны, то решение уравнения (19) может быть получено по формуле
и=щ (x)yl -f Щ (x)yt + • • • + vn (х)У№ где v'i(x) определяется из системы уравнений первой степени;
f г»;(*)Л + ..- +*'п(х')уп = 0 •f- v^ (х) у\ -j- ... -\-TJn (х)у'п = О
< (лг) ^— » = О
Для читателя, знакомого с теориек определителей, можно указать необходимое и достаточное условие линейной независимости, совершенно аналогичное тому, которое мы дали выше для уравнений второго порядка. Пусть, как и выше, ylt yit ... , уа — решения уравнения (17). Определи-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика