Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

80 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
определяться тремя числами, пропорциональными направляющим косинусам этого направления, т. е. косинусам углов, образованных этим направлением с осями координат. Мы имеем в разных точках, вообще говоря, различные направления, и все поле направлений будет определяться тремя функциями:
(80) и (х, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z),
так что направляющие косинусы направления, заданного в точке (х, у, z), пропорциональны величинам (80).
Как и для уравнения первого порядка, поставим себе задачу найти в пространстве такие кривые, в каждой точке которых касательная имеет то самое направление, которое в этой точке задано данным полем направлений. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам dx, dy, dz, а при совпадении двух направлений величины, пропорциональные их направляющим косинусам, должны быть пропорциональны между собою, т. е. для определения искомых линий в пространстве мы имеем систему дифференциальных уравнений:
(81) dx __ dy __ dz и(х,у,г) v(x,y,z) w(x,y,z) •
Интегрирование этой системы сводится к нахождению ее двух независимых интегралов
(82) ф, (л:, у, 2) = Ct; ф2(лг, у, z)=C2,
т. е, таких, что уравнения (82) разрешимы относительно каких-либо двух переменных. Эти два уравнения определяют некоторую линию пространства [I, 160]; придавая С^ и С2 различные численные значения, получим семейство интегральных линий системы (81). Начальные условия сводятся к требованию, чтобы искомая линия проходила через заданную точку (л:0, _у„, z0). По этим начальным условиям определяются произвольные постоянные Ct и С2.
Перейдем теперь к геометрической интерпретации уравнения с частными производными. Считаем опять, что функции (80), как и выше, определяют некоторое поле направлений. Требуется найти такие поверхности, чтобы в каждой точке поверхности направление, определяемое в этой точке полем направлений, лежало в касательной плоскости к поверхности в этой точке. Пусть уравнение некоторого семейства искомых поверхностей будет:
с?(х, у, г) = С.
Направляющие косинусы нормали к этой поверхности, как известно
^Ф с^ср д®
[I, 160], пропорциональны ~, ^ , ~, и направление нормали должно быть перпендикулярно к направлению, определяемому величинами (80), так как последнее должно находиться в касательной

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика