Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

70 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
формулы, аналогичные формулам (44), причем в виде (48) эти формулы разрешены относительно произвольных постоянных, т. е. п независимых интегралов (48) системы равносильны общему интегралу системы. Можно показать, что указанное выше условие независимости интегралов (48) равносильно тому, что ни один из интегралов (48) не есть следствие остальных в указанном выше смысле, или что между левыми частями равенств (48) не существует никакого соотношения вида
тождественного относительно xlt xt, . . . , xn+l.
В предыдущем мы не дали никакого признака, по которому можно было бы судить, что интегралы (48) суть независимые интегралы. Рассмотрим случай п = 2:
(51) х„ xt) = d <р« (хг, х,, х,) = С,.
Вспоминая теорему о неявных функциях [I, 159], можем утверждать, что для разрешимости уравнений (51) относительно хг и х3 достаточно, чтобы выражение
д (ф р \— Ai fo, д?! (??.
адг„ х, (fl, ft) - dXj -^ дх~ dXf
было отлично от нуля. Аналогичный результат будет иметь место относительно переменных xit xt и xlt xt. Предполагая tpt и <ра непрерывными с их производными первого порядка, можно доказать, что необходимое и достаточное условие независимости интегралов (51) сводится к тому, чтобы по крайней мере одно из выражений:
Длг„ *, (V fa). д*„ *, ( Т»). AATlf х, (4i> 4j
было не равно тождественно нулю. В третьем томе мы вернемся к вопросу 0 независимости систем функций с любым числом переменвых. 19. Примеры. 1. Рассмотрим систему:
(52) — = -^- = —J
лгг у г —(;
Сокращая уравнение
dx __ Ay
xz yz
1 .
на — , получим уравнение с отделенными переменными и, интегрируя, будем
иметь:
что равносильно
— = С
Напишем второе уравнение системы dx dz

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика