Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

620 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
новую функцию г; (л;, t) следующим образом: (61) v (х, /) = и (ж, f) — k(t — /„),
где k — положительное число, которое мы сейчас фиксируем. Мы имеем в прямоугольнике Н:
и (х, t)^v (х, t) «? и (х, t) + ktu,
и можно фиксировать число k настолько близким к нулю, чтобы наибольшее значение v (х, t) на / было, как и для и (х, f), меньше, чем значение v (х, t) в точке (л:1, t'). При таком выборе k функция v(x, t) будет принимать наибольшее в Н значение не на /, а внутри И или внутри стороны PQ. Рассмотрим эти случаи отдельно и приведем оба эти случая к противоречию.
Пусть v (x, t) принимает наибольшее значение в некоторой точке C(xl, ?j), находящейся внутри Н. Тем самым в этой точке С будет иметь место максимум функции v (x, t), и мы должны иметь в этой точке [I; 58]:
dv _ d*v__-
-di = Q ИЛ?^°-откуда следует
dv 2 dlv _
:v7------ d ~^\ • ^^^ '-'»
dt дх*
или, в силу (61):
?^_аз^ Ь-^Q dt a d*x~K=S:V-
Но внутри О функция и удовлетворяет уравнению (60), и написанное неравенство приводит к нелепому неравенству: — k :>= 0. Положим теперь, что v (x, t) достигает наибольшего в Н значения в точке N(XI, t0), находящейся внутри стороны PQ. Рассматривая изменение v (x, t) вдоль отрезка N1N, параллельного оси t, мы приходим к неравенству -дт^О в точке N, поскольку значения функции v (x, f) в точке N не меньше ее значений на всем отрезке Л^/V. Рассматривая теперь изменение v(x, f) вдоль PQ, приходим к нера-
d~v венству -рj ^ 0 в точке N, ибо v (х, /0) имеет в точке N (х = jcj
т * dv 9<2!г» п ,.
максимум. Таким образом -^ — о. а^^О в точке N, и мы приходим к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если u {x, f) обращается в нуль на всем контуре /, то и (х, t) равно нулю и во всем прямоугольнике //, а это очень просто приводит к теореме единственности.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 621 622 623 624 625 626 627


Математика