Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

580 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
причем ряд, стоящий справа, сходится равномерно относительно t, так как члены этого ряда по абсолютной величине не превышают 2г". Интегрируя ряд почленно по t, и получим (28).
Функция /(0, определенная на окружности г= 1, имеет период 2тс, т. е. /( — тс)=/(тс). Мы продолжаем ее вне промежутка ( — л, -(-тс) по закону периодичности. Введем вместо t новую переменную интегрирования t — 6 = 9, т. е. t = y-{-ft \\ dt = dcp. Принимая во внимание периодичность/^) и cos (t — 6), мы можем оставить прежний промежуток интегрирования ( — тг, -j-тс) J142] и написать:
(29) U (г, 6) = ^ J /(, + 6)
Пусть точка (г, 6) стремится к точке (1, 60) на окружности. Нам надо доказать, что при этом
lim U (r, 6)= /(в,).
В интеграле (28) совершим такую же замену переменных, умножим обе части на /(60) и вычтем полученное равенство почленно из (29):
+ * (30) ?/(r,6)-/(60) = 1L J [Дф + 6)-/(6.)] ^J-s^ + A» rfy.
Нам надо доказать, что интеграл, стоящий справа, стремится к нулю при г — - 1 и 6 — >60, т. е. будет сколь угодно малым по абсолютной величине, если г достаточно близко к единице и 6 к 90. При любом заданном положительном е можно указать такое т|, что в промежутке — T) =sc 9 ^ Y)
(31)
при всех 6, достаточно близких к 60. В интеграле (30) разобьем весь промежуток интегрирования на три части:
(32) (-7Г.-Т,), (_,,
Оценим абсолютное значение интеграла по второму промежутку:
—ч

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 600 610 620


Математика