Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

570
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Будем теперь стремить радиус р выделенной сферы к нулю. При этом первое из слагаемых в написанной формуле будет стремиться к объемному интегралу по всему телу (D) [86J. Второе слагаемое от р не зависит. Покажем, что третье из написанных слагаемых стремится к пределу 4тг?/(Л10). Принимая во внимание, что на (2р) величина г имеет постоянное значение р, можем написать:
(V Применяя теорему о среднем, будем иметь:
JJ?tfCM)rfS=l?/(Afp).4*p« =
где Мр—некоторая точка на поверхности сферы (2?)- Эта точка стремится к Мй при р->0, откуда видно, что написанное выше выражение стремится к 4тг?/(.Мв). Точно так же применение теоремы о среднем к последнему слагаемому дает:
Я1 dU ,„ 1 Г f dU 1 dU — -3—«О =-------I I -5—06 =---------=— г дп р J J дп р дп
Производные первого порядка функции U по любому направлению при стремлении Мр к М0 остаются ограниченными, так как по предположению функция U везде внутри (D) имеет непрерывные производные до второго порядка. Множитель 4т;р стремится к нулю при р-*-0. Отсюда видно, что последнее слагаемое в формуле (8) стремится к нулю. Окончательно формула (8) в пределе даст нам искомое следствие формулы Грина:
или
т
Заметим еще раз, что эта формула справедлива для любой функции U, непрерывной в области (D) вплоть до 5 вместе со своими производными до второго порядка.
Совершенно аналогичные формулы имеют место и для случая плоскости. Мы приведем их, не останавливаясь на их доказательстве. Пусть (В) — некоторая область на плоскости, (/) — контур этой области и п — направление нормали к этому контуру, внешней по

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 590 600 610 620


Математика