Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

530 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
единственности сохранится полностью. В интеграле по боковой поверхности цилиндра подинтегральная функция совпадает с подинте-гральной функцией интеграла (143). Но на боковой поверхности цилиндра мы имеем cos (n, t) = О, и, кроме того, на этой поверхности-^-=0. Последнее равенство непосредственно вытекает из
того факта, что точки боковой поверхности цилиндра представляют собою точки контура / в различные моменты времени t, а на контуре / мы имеем при всяком t однородное предельное условие (144). Таким образом подинтегральная функция интеграла (143) обращается в нуль на всей боковой поверхности цилиндра, и приведенное выше доказательство теоремы единственности сохраняется полностью и для формулированной только что предельной задачи. При доказательстве теоремы единственности нам приходилось интегрировать правую часть выражения (142) по области D и применять формулу Остроградского. Эти операции являются вполне законными, если мы предположим, что функция а имеет непрерывные производные до второго порядка, которые остаются ограниченными внутри области D.
180. Применение интеграла Фурье. Рассмотрим волновое уравнение в линейном случае
..... дги д*и
<145> ^a *
для полубесконечной области лг^О с начальными условиями
(146) я |,_<> = ?(*); ?
и предельным условием
(147) я|,-о=°-
Нетрудно решить эту задачу методом, указанным в [166]. Действительно, достаточно продолжить функции <р (х) и +at
uU=o=-
С
' I
— at
и оба слагаемые обращаются в нуль в силу нечетности продолжения <р (г) и Если примгним к поставленной задаче метод Фурье, то вместо ряда Фурье получим интеграл Фурье. Как мы видели в [167], применение метода Фурье с учетом предельного условия приводит к решениям вида:
u = (Acosakt-\- В sin ak t) sin kx.
Второго предельного условия нет, а потому все значения параметра k являются допустимыми, т. е. мы приходим к сплошному спектру возможных частот k полубесконечной струны. Вместо суммирования по дискретным

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика