Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

520
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
которого узловые линии суть (черт. 135): Следующий случай:
__ г __ г
приводит опять к бесчисленному множеству колебаний одной и той же частоты 13 = «si = а УЮ. Их узловые лилия в простейших случаях, аналогичных случаю с частотой е>12 = о>21 = а У~5, изображены на черт. 136. Все эти фигуры представляют собою не что иное, как известные из акустики Хладниевы фигуры.
Вынужденные колебания мембраны исследуются совершенно так же, как и вынужденные колебания струны, с тою лишь разницей, что внешняя сила f(x, yt t) разлагается не в простой, а в двойной ряд Фурье.
178. Круглая мембрана. Случай круглой мембраны дает нам пример разложения данной функции по функциям Бесселя, — пример, который важен не столько как приложение к теории колебания мембран, сколько потому, что такие разложения встречаются в других весьма важных задачах математической физики.
Итак, мы исследуем свободные (собственные) колебания круглой мембраны, которой контур есть окружность радиуса / с центром в начале координат. Попрежнему мы считаем, что на контуре мембрана не смещается. Вводя вместо прямоугольных координат (х, у) полярные (г, 0), мы имеем тогда
а _ =0.
Как и в случае прямоугольной мембраны, будем искать частные решения уравнения (105) вида:
(a cos iot -f- 0 sin /У,-/7
Черт. 135.
ч /
V
/ \
Черт. 136.
но только будем считать, что функция U выражена через (г, 6), а не через (х, у). Для функции U мы получим то же дифференциальное уравнение
(116) л~т4~7Га +Asi/=0,
но только нужно преобразовать его к новым переменным (г, 6). Для этого достаточно выразить оператор Лапласа
/im ш &U ,34J
(117) Д?/ = -=г-г •+• -^~<г
* ' ft v* ' s)«2

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика