Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

50 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ряда. Действительно, подставляя в уравнение х = х0 и начальные условия (5), определим j>. Дифференцируя затем уравнение (2) по х и подставляя x = xti, начальные значения (5) и _у("> =_у<п>, определим yff +1> и т. д.
Для определения коэффициентов ряда можно поступать и иначе, а именно подставить в обе части уравнения (2) вместо у степенной ряд:
' " (n~°
„ I v-___ f V 4_ Л I V___ *• V "" -
-f- u.n \л л,0) -]- un+1 ^л лс^ -[-...
с неопределенными коэффициентами ап, ая+1, ... Располагая правую часть по степеням (х — ;с0), сможем определить постепенно упомянутые коэффициенты, приравнивая члены с одинаковыми степенями (х — д:0) в обеих частях полученного тождества [5].
Если правая часть уравнения (2) есть многозначная функция своих аргументов, то данным начальным условиям (5) может соответствовать не одно, а несколько решений уравнения [7]. Всякое решение, которое не заключается в семействе общего интеграла, т. е. не может быть получено из формулы (6) ни при каких значениях постоянных Cs, называется особым решением уравнения.
Пример. Рассмотрим движение точки массы т по прямой линии под влиянием упругой силы, стремящейся вернуть точку в положение равновесия и пропорциональной удалению точки от этого положения. Предположим, кроме того, что движение совершается в среде, сопротивление которой выражается суммою двух слагаемых, одного — пропорционального первой степени, а другого — кубу скорости. Обозначая буквою х удаление точки от положения равновесия, получим дифференциальное уравнение:
где k-L, ks, ft3 — положительныг коэффициенты пропорциональности. Рассмотрим численный пример:
(9) х" — — х — 0,1*' — 0,1дт"
и будем искать его решение, удовлетворяющее начальным условиям
(Ю) х ;_„ = _*•„ = !; х' | ;_0 = лг0' = 1,
в виде ряда, расположенного по степеням t. Дифференцируем уравнение (9) по /:
х"' = — х> — 0,Lt" — 0,3,vr'V
__0 \х"' __(
(11) " - " "'
Подставляя начальные значения (10) в уравнение (9) и уравнения (11). последовательно вычислим начальные значения производных:
= 0,2160; **0V1) = 3,1453.

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика