Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

490
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
к точке А'; в частности, в момент т = — струна займет положение пунктирной
ломаной OA'L. На черт. 133 изображены последовательные формы, принимаемые струной в моменты:
о !т 1Т I., T
и> 4 Т> 4 Т> 4 Т> Т-
167. Способ Фурье. Поперечные колебания струны, закрепленной в концах, могут быть трактованы и с помощью рядов Фурье, и хотя в этом частном случае этот способ и не так прост, как предыдущий, мы его изложим, так как он применяется во многих других задачах, к которым способ характеристик не применяется. Напишем еще раз уравнения нашей задачи в другом порядке:
(30)
(31)
(32)
дги
= 0,
гд-и. 5J?'
-зг
. = 0.
t= t
Черт. 133.
Вместо того, чтобы искать общее решение уравнения (30), будем искать частное его решение в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от t, а другая только от х:
(33) a=T(f)X(x).
Подставив это в (30), имеем:
или
Т" (0 _ X" (х) а*Т#)— Х(х) •
В левой части полученного уравнения стоит функция, зависящая только от t, в правой же — только от х, и равенство возможно лишь в том случае, если и левая и правая части не зависят ни от t, ни от х, т. е. представляют собой одну и ту же постоянную.
Обозначим эту постоянную через (—&*):
(34)
Х(х)
откуда получаем два уравнения (36) X"

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика