Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

440 ряды ФУРЬЕ
Первый множитель f(x — 2г) имеет в промежутке интегрирования конечное число разрывов первого рода (или непрерывен). Второй
1 1 z — sin г
/_?_ j"_ , ^__ \ \\\ 31 + 5! "У
sin z z z sin z
' ~5T
при z—0 стремится к нулю и никаких разрывов в промежутке (0, -~-1 не
г '
имеет. Следовательно к интегралу (22) применима лемма из [150], и этот интеграл стремится к нулю. Таким образом утверждение теоремы Дирихле доказано.
Мы дополним доказанную теорему еще двумя предложениями, которые мы приведем без доказательства. Полученное нами предложение обнаруживает лишь то, что во всякой точке промежутка х ряд Фурье S[f(x)] сходится и имеет суммой f(x), но в этом предложении ничего не упоминается о характере сходимости в промежутке (— тс, -J- тс). Предложения, которые мы сейчас формулируем, восполняют этот пробел.
1. Во всяком промежутке, в котором функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле, кроме того непрерывна и который лежит внутри промежутка (—тс, -j-тс), ряд S[/(x)] сходится равномерно.
2. Если f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле, непрерывна во всем промежутке (—тс, +л), и сверх того
то ряд S[f(x)] сходится равномерно при всех значениях х.
Теорема Дирихле налагает сравнительно мало ограничений на разлагаемую функцию f(x). Но все же теорема разложения в ряд Фурье не имеет места для любой функции /(х), и даже существуют непрерывные функции, которые не могут быть разложены в ряд Фурье.
Читатель покажет без труда, что предложения, аналогичные указанным выше, имеют место для рядов, расположенных только по косинусам или только по синусам в случае, если функция определена в промежутке (0, л), со следующими изменениями:
При условиях теоремы Дирихле для промежутка (0, я) сумма ряда
со тс
(23) Т + 2 "" COS kx' ak=^lf (t) COS M dt
fc=l " 0
равна
.„.. — 0) .
(24) •' Т • - - при 0 < х < it
?
и
/(+0) при x=0;f(- — 0) при *==*;
сумма же ряда
оо тс
(25) 2 ** sin kx'> Ь*=\ \f W sin kt di
Л=>1 О
будет (24) при 0<;лг<тг и нуль при jr=0 и х = -.
Все эти результаты получаются очень просто, если продолжить функцию / (х) в соседний промежуток ( — т., 0) четным образом в случае ряда (23) и нечетным в случае ряда (25), как это было сделано в [145].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика