Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

-130 РЯДЫ ФУРЬВ
особо исследовать значение г = 0. Положим, что во взятой точке х функция /(2) не только непрерывна, но и имеет производную. Из определения производной и из очевидного равенства
lim
«-.о siaz
вытекает, что fy (z) стремится к определенному пределу, равному — 2/ (х), когда z-+Q. Отсюда вытекает, что к функции ф(г) применима вышеуказанная лемма, и первое слагаемое в правой части формулы (5) стремится к нулю при беспредельном возрастании п. Точно так же доказывается, что и второе слагаемое стремится к нулю, а отсюда вытекает, что и разность [?„(/)—/С*)] стремится к нулю во взятой точке х. Мы получаем таким образом следующую теорему:
ТЕОРЕМА. Если f(x) непрерывна ила имеет конечное число разрывов первого рода в промежутке (— я, -f- я), то ее ряд Фурье сходится и имеет суммою f (х) во всякой такой точке х, в которой f(x) имеет производную.
Нетрудно получить и более общие результаты. Положим, что в точке х функция непрерывна или даже имеет разрыв непрерывности первого рода, но существуют конечные пределы
(6) Hm J\*-«>-J\* = 4 и Цт
Л-»-t-O ft Л-»+0 "
Геометрически существование этих пределов, т. е. производных слева и справа, равносильно существованию определенной касательной слева и справа. При этом имеет место следующее дополнение к доказанной теореме: если существуют конечные пределы (6), то в этой точке ряд Фурье функции f(x) сходится и его сумма
равна '*~ 2 (чт° Равно /(•*)> если /С*) непрерывна).
Умножая (4) на ^х~ ~Г и вычитая из (3), можем на-
писать:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика