Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

420 РЯДЫ ФУРЬЕ
ортогонален ко всем уже имеющимся. Действительно, пусть такая функция <{<„ (х) существует, т. е.
ь
= 0 («=1,2,...)-
Отсюда следует, в силу (47), что все коэффициенты Фурье функции ф0 (х) относительно функций (45) равны нулю. По условию формула (49) должна иметь место для всех f(x) и, в частности, для ^(х). Но для этой последней функции все сп равны нулю, и формула (49) дает
(52)
Если, например, предположить, что ^о^)—непрерывная функция, то из (52) следует, что ^0 (х) тождественно равна нулю % промежутке а^х^Ь. Система ортогональных функций (45) называется полной в отношении непрерывных функций, если не существует непрерывной функции, кроме функции равной тождественно нулю, ортогональной ко всем функциям (45). Из сказанного выше следует, что из замкнутости следует полнота в отношении непрерывных функций. Возможность получить замкнутость из полноты связана с более общим определением последней (не только по отношению к непрерывным функциям).
149. Практический гармонический анализ. Операция разложения данной функции в ряд Фурье называется гармоническим анализом. Если функция f"(x) задана аналитически, то формулы (27), определяюище коэффициенты Фурье, решают задачу. Но во многих случаях, которые встречаются на практике, функция бывает задана эмпирически, и тогда задача гармонического анализа заключается в выработке наиболее удобных методов либо для вычисления коэффициентов Фурье, либо же к непосредственному вычерчиванию гармоник различных порядков для заданной функции.
Вычислительные методы гармонического анализа основаны на применении формул приближенного вычисления интегралов к интегралам для а# и Ь^. Наиболее простая из этих формул есть формула прямоугольников [1, 108].
Мы будем считать длину промежутка равной 2тс. Этого всегда можно достигнуть подходящим выбором масштаба на оси ОХ. Концы промежутка будем считать в точках х = 0 и л" = 2тс. Разделим теперь промежуток (0, 2ir) на п равных частей и обозначим абсциссы точек деления через
XQ == U, Д*1, Х«, . . . , -*Vi~l) Xji = ?~,
а значения функции f(x) в этих точках обозначим через
' 01 'll *S| • • • ) *л—1> '»•
Тогда по формуле прямоугольников окажется:
л—1 п —1
(53) ak =» — ? yicos kxc, bk кз — ^ Yi

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика