Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

400
РЯДЫ ФУРЬЕ
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ. Если f(x), заданная в промежутке ( — тс, -f- тс), удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится во всем промежутке ( — тс, -f-тс) и сумма этого ряда:
1) равна f(x) во всех точках непрерывности f(x), лежащих внутри промежутка;
2) равна
2
во всех точках разрыва непрерывности; 3) равна
-JnV;
2 на концах промежутка, т. е. при х = — тс и х^-\--к,
Доказательство этой теоремы будет дано в конце настоящей главы.
Сделаем некоторые замечания по поводу формулированной теоремы. Члены ряда (1) суть периодические функции с периодом 2тс.
Поэтому, если ряд сходится в промежутке ( — тс, -f-тс), то он сходится и при всех вещественных значениях х, и сумма ряда периодически повторяет, с периодом 2тс, те значения, которые она давала в промежутке ( — тс,
Черт. 114. -f-тс). Таким образом, если мы
пользуемся рядом Фурье вне про-
межутка ( — тс, -|-тс), то мы должны считать, что функция f(x) продолжена во вне этого промежутка периодически с периодом 2тс. С этой точки зрения концы промежутка лг = ±тс явятся для продолженной таким образом функции точками разрыва непрерывности, если /(— « + 0) :?/(* — 0).
На черт. 114 изображена функция, непрерывная в промежутке ( — тс, -j-тс), которая при периодическом продолжении дает разрывы непрерывности в силу несовпадения значений f(x) на концах промежутка.
При вычислении коэффициентов Фурье часто бывает полезно пользоваться следующей леммой:
ЛЕММА. Если f (х) есть четная функция в промежутке ( — а, -fa), т. е. /(— лг)=/(х), то
J /(лг) rf* = 2 J/(*)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика