Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

40 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
значениям р или, что то же, у'. Но постоянное значение у' приводит к полиному первой степени для у, т. е. эти потерянные решения, если они и есть, должны быть прямыми линиями. Заметим еще, что при постоянном р = а уравнение (73t) дает adx = 9, (a) dx, т. е. значение постоянной а должно определяться из уравнения Приведем геометрическую интерпретацию этого факта. Подставляя в уравнение (72) вместо у1 постоянную Clt получим уравнение изоклин:
(76) J' = *Pi(C1) + *
т. е. изоклины уравнения Лагранжа суть прямые линии. Среди изоклин надо искать и те решения, которые представляются прямыми линиями. Для этого надо поставить условие, что угловой коэффициент <Р! (Cj) изоклины совпадает с постоянным значением Ct углового коэффициента касательной вдоль изоклины:
Решая это уравнение и подставляя найденные для С1 значения в уравнение (76), получим искомые решения, среди которых должны заключаться и указанные особые решения.
10. Огибающие семейства кривых и особые решения. Мы имели уже два примера, в которых кроме общего интеграла были получены и особые решения. В примере из [7] общий интеграл представлял собою семейство окружностей
(77) (*— С)»+У = а*
с центрами на оси ОХ и фиксированным радиусом а.
Особыми решениями являлись две прямые у = ± а, параллельные оси ОХ. Прямые эти в каждой своей точке касаются одной из окружностей семейства (77) (черт. 10). В примере из [8] общий интеграл представлял собою семейство прямых, длина отрезка которых между координатными осями равна заданной величине а, а особое решение представляло собою астроиду, касающуюся во всех своих точках с одной из указанных прямых, т. е. упомянутое семейство прямых являлось семейством касательных для этой астроиды.
Эти примеры естественно приводят нас к понятию огибающей данного семейства линий. Пусть дано семейство линий
(78) ф(*. у, О = 0,
где С — произвольная постоянная. Огибающей этого семейства называется линия, которая во всех своих точках касается различных линий семейства, т. е. имеет в каждой своей точке касательную, обшую с линией семейства (78), проходящей через эту же точку.

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика