Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

380 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
сается (Lj). Итак, формула (72) дает необходимое и достаточное условие существования огибающей у нормалей к поверхности вдоль (L). Заметим, что огибающая может выродиться в точку, и тогда нормали образуют цилиндрическую или коническую поверхность, причем условие (72), как можно показать, также должно быть выполнено. Напишем (72) в раскрытом виде:
r'udii -f- r'vdv -\- a (m'udu -j- mV^f) = 0
и умножим скалярно на г„.
В силу формул (42t), (47) и (49) получим:
Е du -4- F dv -4- а (— L du — Af dv) = О,
а это есть как раз равенство (62) при a = R. Совершенно так же умножая скалярно на /•'„, получим равенство (62j). Нетрудно показать и наоборот, что из равенств (62) и (62j), которые определяют главные радиусы кривизны и главные направления, получается формула (72) при a = R. На этом мы не останавливаемся. Таким образом условие существования огибающей нормалей (72) равносильно (62) и (62]), причем а есть величина одного из главных радиусов кривизны. Предыдущие рассуждения приводят нас к следующим результатам: линии кривизны поверхности характеризуются тем свойством, что вдоль них нормали к поверхности имеют огибающую (или дают конус или цилиндр), причем величина отрезка нормали между поверхностью и огибающей равна одному из главных радиусов кривизны.
Если некоторая плоская кривая вращается вокруг оси, лежащей в ее плоскости, то линиями кривизны полученной поверхности вращения будут ее меридианы и параллели. Действительно, вдоль меридианов нормали к поверхности образуют плоскость, а вдоль параллели — конус.
136. Теорема Дюпена. Пусть в пространстве имеются три семейства взаимно перпендикулярных поверхностей
у(х, у, z) = q1; fy(x, у, z) = q^, ы(х, у, z) = q^.
Они образуют сетку ортогональных криволинейных координат в пространстве [119]. Радиус-вектор г из начала в переменную точку пространства М характеризуется криволинейными координатами qlt qt, q3 этой точки. Частные производные r'4l, r'q^ и г'Чз дают векторы, направленные по касательным к координатным линиям, и условия ортогональности координат можно написать в векторной форме:
(73) r'qi • г'дз = 0; r'qi • r'qi = 0; r'qi • rq, = 0.
Дифференцируем первое из этих равенств по qlt второе по q% и третье по q3:
r"q , • г' -\-г' -г" = О
-." . ..' I ..' *." ______о
' ?s7i ' 4i\'qi ' qiQi----и
r" .r' I -' _" ___n
* QiQt * 01 * Ot * OvQ't ----- ^*

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика