Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

350 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В силу (3) имеем (4) #=}«•
Отложим на направлении п, т. е. на направлении нормали кривой в сторону вогнутости, отрезок МС, равный радиусу кривизны р в точке М (черт. 102). Его конец С называется центром кривизны кривой в точке М. Если М двигается вдоль кривой (Z,), то С меняется и описывает некоторую кривую (?j), которая называется эволютой кривой (L), т. е. эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Для дальнейшего нам необходимо определить производную -^ .
Вектор п есть единичный вектор, и, следовательно, -v- J_ п, т. е. -j- па-
раллелен касательной. Дифференцируя очевидное равенство t • п = О по s, будем иметь:
Но векторы N н п совпадают по направлению, и, в силу (4),
», 1 . dn \
N • п = — , так что из последнего равенства следует г • -f- = -- .
,, dn dn
Сопоставляя это с параллельностью векторов t и -г , видим, что ^
по направлению противоположен t и имеет длину — , т. е.!
<ъ dn 1 t
(5) Й = ~7А
Пусть, как и выше, г к s — радиус-вектор и длина дуги для кривой (L), a rv и s, — те же величины для эволюты (?j). Дифференцируя равенство (черт. 102)
по s, получим:
dri , , rf? , dn
ж-='+ ifr + t-ds'
или, в силу (5):
да ?-•+?,— *'•«•? =Й»
Правая часть этой формулы есть вектор, направленный по нормали к (L), a левая — вектор, направленный по касательной к эволюте, и следовательно нормаль кривой (Z,) параллельна касательной эволюты. Но обе эти линии проходят через одну и ту же точку С, а поэтому должны совпадать, и мы имеем первое свойство эволюты: нормаль к кривой касается эволюты в соответствующей точке.
Вспоминая определение огибающих семейств линий, мы можем высказать и следующее второе свойство эволюты: эволюта есть огибающая семейства нормалей к кривой.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика