Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

30 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
пересечения его в точке Mt с прямой х = х^, параллельной оси ОК. Пусть yl — ордината Mt. Она определяется очевидно из соотношения:
У! —Уо =7(*о> -У о) (*i — *<))>
ибо отрезки MUN и NMt выражаются числами xt — хй и yl — yt и тангенс угла NMUMV по построению равен /(х0, ул).
Из точки (xlt yj проводим луч М^МЪ с угловым коэффициентом /(лгь у^ до пересечения его в точке Mt со следующей прямой x = xtt параллельной оси OY. Ордината точки пересечения будет определяться, как и выше, из соотношения:
Точно так же, исходя из точки М2 (ха_, у%), можно определить следующую точку М3 (х3, у3) и т. д. Лучи PAQ, PAit ... на чертеже 9 играют ту же роль, что и на черт. 8.
Положим теперь, что нам надо при заданном значении х определить значение у решения уравнения (42), удовлетворяющее начальным условиям (43). В силу сказанного выше, для этого надо поступать так: промежуток (хй, х) разбиваем на отдельные части:
(48) ^u<^i<-1c2<^3<-.-<^n-a<^n-i<-^-.-
и последовательно определяем ординаты ylt yt, . . ., yn_t по формулам:
У! ~Уи =/(*о> У о) (*! — *0)
(49)
Уз—У*=7* Уп-i —Уп-* =j
При указанных в [5] условиях относительно свойств функции f(x, у), если число промежутков увеличивается, а каждый из них стремится к нулю, то величина Y, получаемая из формул (49), будет стремиться к истинной ординате у искомой интегральной кривой, если заданное значение х достаточно близко к начальному xt.
Складывая равенства (49) почленно, найдем без труда:
*„-!> Уаг-l) (Х ~ *«-lX
В простейшем случае уравнения
написанная формула будет иметь вид:

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика