Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

290 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
в силу S' < L + тг, имеем St < L -f- -' . Обращаемся к сумме S3. Области
(тт) имеют общие точки с (Х0) и их диаметры меньше -~ 8. Следовательно,
все эти области находятся внутри квадратов, образующих (Qa). Следова-
е тельно, ? тт ^ суммы площадей этих квадратов, т. е. STm^57i?' Мно-
жители чт ^ М, и, следовательно,
3 = 2л '>т~т^' Л2М = "2 • Из неравенств 51<с?.-)--уИ Ss при d-L, доказано для положительных функций. Повторяя рассуждение из [I, I151, убедимся, что оно имеет место для любых ограниченных функций. Точно так же доказывается, что s при d^O стргмится к /, где / — точная верхняя граница значений s. Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема Дарбу. При беспредельном уменьшении наибольшего из диаметров частных областей (ak) суммы s и S стремятся к определенным пределам I и L, причем l^.L.
Все предыдущие рассуждения дословно применимы и в том случае, когда (а) и (afc) суть любые квадрируемыг множества. Теорема Дарбу остается справедливой.
95. Интегрируемые функции. Функция f(N) называется интегрируемой по (а), если существует определенный предел сумм
при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d областей (множеств) (aft). Этот предел и называется двойным интегралом от функций /' (N) по области (множеству) (а):
И
Как и в [I, 116) покажем, что необходимое и достаточное условие интегрируемости f(N) заключается в совпадении пределов I a L сумм s и S, т. е. в том, чтобы разность этих сумм
(7)
стремилась к нулю при d—*Q. При этом общий предел сумм s и S равен величине интеграла.
Если /(JV)=1, то сумма (6) всегда равна площади а области (множества) (о), т. е.
Используя условие (7), можно выяснить некоторые классы интегрируемых функций.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика