Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

280 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ее Е-окрестиости лежат точки, принадлежащие (Р). Поскольку (Р) состоит из внутренних точек, можно утверждать, что в любой е-окрестности М' лежит бесчисленное множество точек (Р), и можно определить контур (О области, как множество тех предельных точек (Р), которые не принадлежат (Р). Нетрудно видеть, что (/) есть замкнутое множество. Действительно, пусть N—предельная точка (/). Покажем, что она принадлежит (/). По определению предельной точки в любой е-окрестности точки N находятся точки М' из (/), и точка N не может принадлежать (Р), ибо все точки (Р) — внутренние точки. Но в любой е-окрестности точек М' находятся точки области (Р) (по определению контура), и, следовательно, в любой е-окрестности N находятся точки (Р), т. е. N действительно принадлежит (/). Если мы причисляем к области (Р) ее границу (/), то получается, очевидно, замкнутое множество (Р), которое называют иногда замкнутой областью. Заметим, что после причисления точек границы (/) к области (Р) точки контура могут стать внутренними точками нового множества (Р). Если, например, (Р) есть квадрат с надрезом внутри, то точки надреза суть точки (/), но после причисления (/) к (Р) эти точки становятся внутренними точками (Р).
Введем теперь некоторые понятия, связанные не с областью, а с любым множеством (Р) точек плоскости. Назовем производным множеством (Р') множества (Р) совокупность всех предельных точек множества (Р). Совер -шенно так же, как мы доказали замкнутость (/), можно доказать, что всякое производное множество — замкнуто. Пусть (Рх) — множество всех точек плоскости, не принадлежащих (Р). Оно называется обычно дополнительным для (Р). Границей (I) множества (Р) называется множество точек, принадлежащих одному из множества (Р) или (Рг) и производной другого множества, т. е. принадлежащих (Р) и (/У) или (Р') и (Pj). Для области это будет прежнее определение границы. Можно дать и другое определение границы, равносильное приведенному выше. Назовем точку М из (Р) изолированной точкой этого множества, если существует е-окрестность точки М, не содержащая точек (Р), кроме самой точки М. Нетрудно видеть, что граница множества (Р) состоит из изолированных точек (Р) и из тех предельных точек (Р), которые не являются внутренними точками (Р). Можно, как и выше, показать, что (/) есть замкнутое множество. В дальаейшем мы будем иметь дело главным образом с областями.
Заметим, что все сказанное выше применимо и к множествам точек из прямой, которую можно принять за ось ОХ. При этом е-окрестностью точки х=с называется промежуток (с — е, с + е)> т- е- промежуток длины 2s, имеющий середину в данной точке.
89. Основные теоремы теории множеств. Множество (Р) называется ограниченным, если все его точки находятся в ограниченной части плоскости. Эту ограниченную часть плоскости всегда можно считать квадратом, со сторонами, параллельными осям. Можно поэтому сказать, что множество (Р) ограничено, если все его точки принадлежат некоторому квадрату со сторонами, параллельными осям.
Теорема I. Всяког бесконечное, ограниченное множество точек (Р) имеет по крайней мере одну предельную точку. Докажем эту теорему сначала для того случая, когда точки (Р) лежат на одной прямой, например, на оси ОХ. Множество (Р) по условию бесконечно, т. е. этих точек бесчисленное множество, и, в силу ограниченности (Р), все они принадлежат некоторому конечному промежутку (а, Ь). Разделим (а, Ь) пополам. По крайней мере одна из половинок (аг, ?,) будет содержать бесчисленное множество точек (Р). Разделим (al, Ь^) опять пополам. По крайней мере одна из новых половинок (а., Ьг) будет содержать бесчисленног множество точек (Р) и т. д. Получаем последовательность промежутков
(а, Ь), («!, *!), (a,, &t), .... (а„, Ьп),...

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика