Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

270 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Положим сначала, что f(M) положительна, или точнее говоря, неотрицательна в окрестности точки С. Положим что (Д') и (Д") — две малые области такие, что (Д") находится внутри (А'). При этом интеграл по (о — Д") отличается от интеграла по (о — Д') на положительную величину, равную интегралу по области (Д' — Д"), в которой f(M)^5zQ. Отсюда непосредственно видно, что при беспредельном сжимании (Д) к С интеграл (60) увеличивается (если последующая область (Д) часть предыдущей) и, следовательно, или стремится к пределу, или беспредельно увеличивается. Если при некотором определенном законе сужения (Д) к С имеется конечный предел, то и при любом другом законе сужения будет иметься тот же предел. Для этого случая существования предела характерным является тот факт, что интеграл по любой области, не содержащей С, но находящейся в окрестности точки С, где f(M) положительна, останется меньше определенного положительного числа (при этом интеграл будет стремиться к нулю, если окрестность стягивается к С). Если /(Ж)^0 в окрестности С, то, вынося минус за знак интеграла, придем к предыдущему случаю. Положим, теперь, что f(M) в любой малой окрестности С бывает разных знаков. В этом случае мы будем рассматривать только абсолютно-сходящиеся интегралы, т. е. такие интегралы, что
(61)
имеет смысл, т. е. сходится. В нем подинтегральная функция уже неотрицательна, и к нему применимы предыдущие замечания. В частности, из этих замечаний следует, что если /, (М) и /а(М)'— две положительные функции, /, (М) sg/8 (М), и интеграл от /9 (М) сходится, то интеграл от /i (M) и подавно сходится. Нашу функцию f(M) можно представить в виде разности двух положительных функций: f(M) = \f(M) \ — [\f(M) \ —f(M)]. Интеграл (61) по условию сходится. Тем самым сходится интеграл от функций 2 \f(M)\. Функция [|/(М) [ —f(M)] равна 2 \f(M) \ в тех точках, где/(Л1)] sS О, и равна нулю, где f(M)^>0, т. е.положительная функция [|/(Ж)| — f(M)] ^2 \f(M)\, и, следовательно, интеграл от нее тоже сходится. Но тогда сходится и интеграл от разности \f(M) \ — [ |/(Ж) | —f(M)], т. е. от f(M). Итак, если интеграл (61) сходится, то сходится и интеграл от f(M).
Укажем одно достаточное условие сходимости интеграла (61): если в окрестности точки С функция удовлетворяет условию
|/(М)\ ^^р, где г — расстояние от С до переменной точки М,
А а р — постоянные и р<^1, то интеграл (61) сходится. Согласно сказанному выше, нам достаточно показать, что интеграл (61) по любой области (о'), не содержащей С и заключающейся в круге с центром С и некоторым радиусом г^, остается ограниченным.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика