Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

250 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Переходя к пределу, получим, в силу (17), следующую формулу для дифференцирования интеграла (18): •*•» xi
(21) -.— \ f(x,y~)dx = I f dy-4-f(x«. v)-ft—f(x,,y)-^-.
rfy J J dy •* ' J ^ " •" dy J ^ L ay
Если х1 и Хц не зависят от у, то получается формула (13). Эта последняя формула справедлива и при дифференцировании кратного интеграла по параметру, если только область интегрирования (В) не зависит от параметра. Если, например, в двукратном интеграле по области (В) подинтегральная функция /(/VI, t) зависит не только от переменной точки М, но и от параметра t, то
(22)
(В) В)
При этом считается, что f(M, t) и д/ суть непрерывные
функции при изменении М в области (В), включая контур, и при изменении t в некотором промежутке.
Заметим, что при доказательстве формул (13) и (22) существенно, что промежуток интегрирования конечен. В примерах мы будем применять формулу (13) и для бесконечного промежутка. В дальнейшем мы укажем условия законности такого применения.
Из предыдущих формул вытекает также, что если f(x, у), х% (у) и xl(y) суть непрерывные функции, то и интеграл (18) есть непрерывна/! функция от у.
81. Примеры. 1. В [28| мы нашли частное решение уравнения
удовлетворяющее условиям
Оно имеет вид:
t
— ~ Г/(«) sin A (* — u)du.
Нетрудно проверить это непосредственным дифференцированием согласно правилу (21). Мы имеем: I
dy Г1 1 . Г'
Л J k «=/ J
о о
-^ = — k ? f (и) sin ti (t — и) d«-f-/(u)cosh(t—u)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика