Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

230
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пользуясь формулой Стокса (22), можно доказать так же, как и в предыдущем, что необходимые и достаточные условия независимости интеграла (38) от пути выражаются тремя тождествами:
(39) v '
ду
дх
дх
Если эти условия выполнены, то можно построить функцию точки U(x, у, z)
(40)
1*.У,»>
U(x, у, z)= \ Pdx -f Qdy -f Rdz,
(x0, yo, Z0)
причем совершенно так же, как и раньше, можно показать, что
(42) Pdx -f- Qdy -f Rdz = dU
(B)
(43) § Pdx-\-Qdy-{-Rdz = U (B) — U (A).
Кроме того, условия (39) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы выражение Pdx -{- Qdy -\- Rdz было полным
дифференциалом некоторой функции [/„ и, если эти условия выполнены, то Ul определяется по формуле
(-", У, г)
,= J Pdx + Qdy + Rdz + С,
Черт. 70.
, Уа,
где С — произвольная постоянная.
Понятие многосвязной области в пространстве представляет некоторые особенности. В качестве примера рассмотрим область (D), образованную внутренностью сферы, из которой выделены две трубки (I) и (II), которые концами упираются в поверхность сферы, как это указано на черт. 70. Если возьмем замкнутый контур (/), обходящий вокруг трубки (I), то на него нельзя натянуть поверхность, которая бы заключалась в области (D), и, следовательно, если даже в области (D) условия (39) и выполнены, то все же нельзя к (/,) применять формулу Стокса, и величина интеграла (38) по (/j) будет, вообще говоря, отлична от нуля. Но эта величина не будет зависеть от вида (/j). Важно лишь, что (/]) есть замкнутый контур в (D), обходящий вокруг одной трубки (I). Таким ооразом

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика