Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

210 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ввиду произвольной малости е мы видим, что т] действительно стремится к нулю, и сумма (6) имеет предел (7). Рассматривая точно так же остальные суммы (3), покажем, что при сделанных предположениях интеграл (2) может быть представлен в виде обычного определенного интеграла:
(8) J Pdx + Qdy + Rdz = § [/У (т)

где Р, Q, n R надо выразить через -с согласно формулам (5).
Некоторые из свойств простого интеграла, указанные в [I, 94], непосредственно обобщаются на случай криволинейного интеграла. Так например:
I. Если кривая (/) состоит из отдельных частей (/j), (/2), ...,
(/«). TO
Г Pdx-}- Qdy + Rdz= Г Pdx -f Qafy -j- /? «/ */
(0 (Ji)
-f f A/je-j-Qflfy-f /? *J J
<0 Cm)
II. Величина криволинейного интеграла определяется не только подинтегральным выражением и кривой интегрирования, но и указанием направления на кривой (/), причем при изменении направления кривой интегрирования интеграл лишь меняет знак.
Если кривая (/) целиком не удовлетворяет указанным выше условиям, но ее можно разбить на конечное число частей, каждая из которых имеет параметрическое уравнение (5), то формула (7) применима к каждой части, а интеграл по всей кривой можно представить как сумму интегралов по отдельным частям. Нетрудно показать, что это равносильно пределу суммы (3) для всей кривой. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые (Г), которые удовлетворяют указанному только что условию. Заметим, наконец, что если т есть длина дуги s = ^jAM, то формула (8) переходит в формулу (4).
Если кривая (/) есть плоская кривая, находящаяся на плоскости XY, то интеграл (2) имеет вид
t Pdx + Qdy,
i
где Р и Q функции от (х, у), определенные вдоль (Г).
67. Работа силового поля. Примеры. К понятию криволинейного интеграла (2) естественно приводит задача вычисления работы. Пусть точка М описывает траекторию (/) под действием силы F, являющейся функцией точки вдоль (/). Для вычисления работы разобьем (/) на малые части и рассмотрим одну из этих частей Mk, Мь^.\. Ввиду

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика