Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

200 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
случай, когда (v) ограничено двумя поверхностями. При этом в правой части (31) надо интегрировать по всем поверхностям, ограничивающим (v), и направление (п) будет на внутренних поверхностях направлено внутрь этих поверхностей (т. е. во-вне
64. Интегралы по определенной стороне поверхности. Иногда пользуются другим определением и другой формой записи интеграла по поверхности. Рассмотрим сначала тот случай, когда поверхность (S), изображенная на черт. 54, удовлетворяет условиям, указанным в начале предыдущего номера. В каждой точке поверхности можно придать нормали два противоположных направления. Одно из них будет образовывать острый, а другог — тупой угол с направлением оси OZ. В соответствии с этим у поверхности
можно различать две стороны — верхнюю и нижнюю. Пусть R (х, у, г), как и выше, — функция, заданная на (S). Рассмотрим интеграл:
(33) f f/?cos(«,Z)rfS.
(S)
Величина этого интеграла зависит от выбора направления нормали или, что то же, от указания на то, по какой стороне поверхности (S) производится интегрирование. При интегрировании по верхней стороне cos (л, Z)>0, и cos (n, Z)dS = daxy, а при интегрировании по Ч^рт 55 нижней стороне cos (п, Z) <. О, и cos (n, Z) dS =
= — daxv, где daxv — проекция элемента площади поверхности (S) на плоскость XY,
т. е. элементы площади области (а) в формуле (29). В координатах (А:, у) мы можем написать daxy = dxdy, так что интеграл (33) приведется к интегралу по области (о) плоскости XY:
(34) J J R [x,y,f(x,y)] dxdy или - j* j* R [AT,J
смотря по тому, по какой стороне поверхности производится интегрирование. Но часто его в обоих случаях записывают одинаково
(35) [ f Rdxdy, '
"(S)
указывая, по какой стороне поверхности производится интегрирование. Если интегрирование производится, например, по нижней части поверхности (S), то интеграл (35) сводится ко второму из интегралов (34). Можно определить интеграл (35) непосредственно, как предел суммы произведений ?/?(Mfe)Aafe значений функции R(M) в точках поверхности на площади Aaft проекций на плоскость XY этементов &Sk, на которые разбита поверхность (S), причем Дз), считаются положительными, если интегрирование совершается по верхней стороне поверхности, и отрицательными, если оно совершается по нижней стороне поверхности.
Рассмотрим теперь общий случай поверхности (S). Пусть М„ — некоторая точка этой поверхности. Фиксируем определенное направление нормали (п) в этой точке и будем, выходя из точки Af0 и двигаясь непрерывно по (S), следить за непрерывным изменением направления нормали (я). Если при любом непрерывном движении это приведет нас к определенному направле-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика