Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

190
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
точек обозначим через р, и ра (в случае, когда начало координат лежит внутри (ti), полагаем р, = 0). Мы получим тогда:
JJJ/Cp, 0,
= J J
(«)
PI
где pj и р2 — известные функции б и <р. Пределы интегрирования по И и о определяются по виду области (о).
Пример. Определить массу шара, состоящего из концентрических слоев различной плотности. Можем считать в данном случае, согласно условию, что плотность зависит только от р и выражается функцией / (р), что дает:
т
2и ж а а
— Г Г Г /(Р) Р8 sin 0 d? dO dtp = Г d® Г sin 8 d6 Г /(р) р2 dp = 4л Г /(р) р1 dp.
(i>) 000 О
Если плотность постоянна и равна единице, получаем выражение объема шара:
J47T/7» 9'df^—.
Замечание. Множитель sinbdftdcp имеет весьма важное геометрическое значение: это есть элемент площади поверхности сферы
радиуса 1, на которые она разбивается меридианами и параллельными кругами (черт. 51). Если мы будем разбивать поверхность сферы радиуса единицы на элементы какой угодно формы da, то получим:
ш
= J J
do
где (о) есть область, в виде ко-Черт. 51. торой проектируется на поверх-
ность сферы рассматриваемый
объем при помощи центральной проекции из начала координат. Построим элементарный конус, вершина которого в центре шара, а направляющая — контур элемента da. Растворение этого конуса, которое измеряется площадью da, называется телесным углом, под которым виден из центра элемент любой поверхности (S), вырезываемый из нее этим элементарным конусом.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика