Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

180 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
определятся из вида области (о) аналогично тому, как это было указано в [53] для случая полярных координат.
В формулах преобразования (11) мы рассматривали а и v как новые криволинейные координаты точек, считая самую плоскость неизменной. Мы можем, наоборот, считать и и v попрежнему прямоугольными координатами, и тогда формулы (11) дадут нам преобразование плоскости, при котором точка, имевшая прямоугольные координаты (х, у), преобразуется в точку с прямоугольными координатами (и, v). Такое преобразование деформирует область (а) в новую область (Ц). При такой точке зрения мы должны будем переписать формулу (13) так:
J J f(x, v) rfo = J J /Ч», v)\D\ dndv,
(') (2)
причем здесь и и v — прямоугольные координаты точек области (S), и пределы интегрирования в интеграле по (И) определяются так, как это было указано в [53]. Если положить f(x, y) — F(u, г>)=1,то получим выражение площади о области (о) в виде интеграла по (^):
о= № \D\dudv.
Отсюда видно, между прочим, что при нашей новой точке зрения | D | есть коэффициент изменения площади в данном месте при деформации области (Е) в область (о), т. е. предел отношения бесконечно малой площади в (о) к соответствующей площади в (?).
Примеры. 1. Рассмотрим на плоскости XY круг xs -f-jy3 ^ 1 с центром в начале координат и радиусом единица. Введем новые переменные по формулам перехода к полярным координатам: x = rcos В данном случае
_ _ d(rcos дг сЬ $9 дг ~~ '
и, как мы видели выше, dz — rdrd'?.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика