Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

160 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
димся в применимости теоремы существования и единственности для точки (jc0, ,v0)- Таким образом особые точки уравнения (35) суть те точки, в которых одновременно обращаются в нуль Р(х, у) и Q(x,y), т. е. координаты этих точек получаются, как вещественные решения системы уравнений
(36) Р(х,у) = 0; Q(x,y) = 0.
Сказанное применимо и к тому случаю, когда Р (х, у) и Q (х, у) суть ряды, расположенные по целым положительным степеням (х — л:0) и (у — yt). Если по крайней мере в одном из этих рядов свободный член отличен от нуля, то к точке (х0,уа) применима теорема существования и единственности. В противном случае эта точка будет особой точкой уравнения.
Поясним понятие об особой точке на примере установившегося течения жидкости [12]. Пусть Р(х, у) и Q(x, у} — проекции вектора скорости v(x, у) на координатные оси. Уравнение (35), выражающее условие параллельности касательной и вектора скорости, представляет собою дифференциальное уравнение линий тока. Если в некоторой точке вектор V (х, у) отличен от нуля, то в этой точке по крайней мере одна из проекций Р(х, у) и Q(x, у) вектора V(x, у) отлична от нуля, и через эту точку, согласно теореме существования и единственности, проходит одна и только одна линия тока. Точки же, в которых вектор v (х, у) равен нулю, т. е. в которых имеют место равенства (36), будут особыми точками уравнения (35) и называются критическими точками рассматриваемого течения. В такой точке обстоятельства будут уже иные: линии тока могут пересекаться, асимптотически приближаться к точке, или окружать ее замкнутыми кривыми. Таким образом особые точки могут иметь различный характер, и для изучения движения (интегральных кривых уравнения) важно уметь определять характер особых точек. В следующем номере мы на частном примере решим этот вопрос.
53. Линии тока коллинеарного плоского движения жидкости. Рассмотрим тот частный случай, когда проекции скорости Р(х,у) и Q(x, у) суть полиномы первой степени:
Р (х, у) = апх -f- alby -f b\> Q (x> У) = a*ix + aaiV + b-i>
в этом случае движение жидкости называется коллинеарным. Положим сперва, что прямые
(37) Яц-t+aiiy -]-*!= О и аых
не параллельны. Выбирая точку их пересечения за начало координат, мы обратим в нуль свободные члены Ь1 и &s. Уравнение будет иметь вид
/38) dx dy
V

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика