Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

140 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ввиду того, что по условию о0^0, первое из написанных уравнений дает квадратное уравнение для определения показателя р:
(11)
Уравнение это называется определяющим уравнением.
Пусть Р! и ра — его корни. Полагая в уравнениях (10) р = pj или р = р», будем иметь ряд уравнений, из которых каждое последующее будет содержать одним коэффициентом as больше предыдущего, и таким образом постепенно можно будет определить аь а2, ... Коэффициент а0 останется произвольным и будет играть роль произвольного множителя. Можно положить, например, а„ = 1.
После подстановки p = pi или р = р2 первое из уравнений (10) обратится в тождество, второе даст а1( третье аа и т. д., и вообще (s + 1)-ое даст as, если уже известны <х0, аь ... OLS_L. При этом надо только, чтобы коэффициент при as в этом уравнении был отличен от нуля. Непосредственно видно, что этот коэффициент может быть получен из левой части уравнения (11) заменою р на (PI + S) или (pa-f-s), т. е. он равен F(pi-\-s) или /^(pa + s).
Положим, что при построении решения (9) мы исходили из корня уравнения (11) р = PJ. Если F (PJ -f- s) 96 0 при любом целом положительном s, то указанный выше прием вычисления коэффициентов as будет выполним и даст определенные значения для этих коэффициентов.
Условие же F (ра -f- s) ^Ь 0 равносильно, очевидно, тому условию, что второй корень р! уравнения (11) не есть число вида (ра -)- s), где s — целое положительное число, т. е., иначе говоря, разность корней (pt — ра) не должна быть целым положительным числом.
Из сказанного нетрудно вывести следующие заключения.
1. Если разность корней pt и ра уравнения (11) не равна целому числу или нулю, то можно использовать оба корня уравнения (11) и построить вышеуказанным способом два решения вида
1. Если разность (р! — р2) есть целое положительное число, то можно построить указанным выше способом, вообще говоря, лишь один ряд;
(13) yl = Xf
5=0
3. Если уравнение (11) имеет кратный корень PI = р2, то также можно построить лишь один ряд (13).
По поводу сходимости построенных рядов имеет место предложение, аналогичное предложению, приведенному нами в [45J: если ряди
2а\
s=0
сходятся при |л'|<^?, то при этих значениях х построенные выше ряды также будут сходящимися и будут давать решения уравнения (8). К разобранному приводится уравнение:
(Н) лг'Я. (х)у" + xPi (х)у' +Ра (х)у=0,
где Р„(х), PI (х) и Pt (x) — полиномы или ряды, расположенные ио целым положительным степеням х, причем Р„(0)^0. Здесь, как и в [45], можно

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика